दैनंदिन व्यवहारात अगदी सहजपणे संभाव्यतेविषयी बोलले जाते. उदाहरणार्थ, आज पाऊस पडण्याची शक्यता किती आहे?, भारतीय संघ उद्याच्या क्रिकेटच्या सामन्यात जिंकण्याची शक्यता किती आहे? अशा स्वरूपाच्या चर्चा या संभाव्यतेविषयी असतात. ‘सशर्त संभाव्यता’ हा संभाव्यतेचाच एक प्रकार आहे. समजा आकाशात भरपूर काळे ढग दिसत असतील, तर पाऊस पडण्याची शक्यता जवळजवळ १००% आहे, असे म्हटले जाते. आकाशात काळे ढग दिसणे या घटनेमुळे पाऊस पडण्याच्या शक्यतेत वाढ होणे हे सशर्त संभाव्यतेचेच उदाहरण आहे. 'A' या घटनेची संभाव्यता काढताना, दुसरी 'B' ही घटना घडली असल्याची माहिती वापरून काढलेल्या संभाव्यतेस 'A' ची सशर्त संभाव्यता असे म्हणतात.  P(A\mid B) या संकेतनाने ही सशर्त संभाव्यता दर्शविली जाते.

सशर्त संभाव्यता काढण्यासाठी दोन घटनांच्या छेदनाच्या (एकत्रितपणे घडून येण्याच्या) संभाव्यतेचा वापर केला जातो. सशर्त संभाव्यता काढण्याचे सूत्र पुढील प्रमाणे आहे.

P(A\mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

वरील समीकरणात 'B' ही अशक्य घटना नाही, म्हणजेच P(B) शून्य नाही असे मानले जाते. समजा पत्त्याच्या संचातील एक एक्का बाहेर काढला व बाहेर काढलेला एक्का लाल आहे (='B') हे जर माहित असेल, तर तो एक्का बदाम एक्का असण्याची (='A') संभाव्यता किती असेल हे काढायचे आहे. त्या एक्क्याबद्दल काहीही माहिती नसताना तो बदाम एक्का असण्याची संभाव्यता \frac{1}{4} आहे, म्हणजेच P(A) = \frac{1}{4}. तसेच, तो एक्का लाल असण्याची संभाव्यता \frac{1}{2} आहे, म्हणजेच P(B) = \frac{1}{2}.

P(A \cap B) = बाहेर काढलेला एक्का लाल बदाम असण्याची संभाव्यता ही (काळा बदाम एक्का मिळणे शक्य नसल्यामुळे) तो एक्का बदाम एक्का असण्याच्या संभाव्यतेइतकीच म्हणजे 1/4 आहे. त्यामुळे वरील सूत्रानुसार,

P(A\mid B) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

सूत्र न वापरतादेखील ही संभाव्यता काढता येणे शक्य आहे. बाहेर काढलेला एक्का हा लाल एक्का आहे, हे माहित असल्यास तो बदाम किंवा चौकट यांपैकीच एक एक्का असणार. त्यामुळे तो बदाम एक्का असण्याची संभाव्यता \frac{1}{2} होते.

P(A\mid B) आणि P(B \mid A) या समान नसतात. उदाहरणार्थ, वरील उदाहरणात,

P(B \mid A) = बाहेर काढलेला एक्का हा बदाम एक्का आहे हे माहित असताना तो लाल असण्याची संभाव्यता 1 आहे.

कोणत्याही अन्य घटनेवर अवलंबून नसणाऱ्या  P(A) या संभाव्यतेस समासी संभाव्यता असे म्हणतात. एखाद्या घटनेची समासी (P(A)) व सशर्त संभाव्यता (P(A \mid B)) समान असल्यास, 'B' या घटनेचा 'A' या घटनेवर कोणताही परिणाम होत नाही, असे म्हटले जाते. अशा वेळी 'A''B' या घटनांना निरवलंबी घटना (Independent event) म्हणतात. उदाहरणार्थ, पत्त्यांच्या संचातून काढलेला पत्ता बदाम एक्का असणे ('A') आणि नाणेफेक केल्यावर छापा येणे ('B') या गोष्टींचा परस्परसंबंध नसल्याने 'A' या घटनेची समासी (P(A)) व सशर्त (P(A \mid B)) संभाव्यता \frac{1}{4} आहे. त्यामुळे 'A''B' या निरवलंबी घटना ठरतात.

सशर्त संभाव्यतेच्या संकल्पनेचा अनेक क्षेत्रात उपयोग होतो. वैद्यकीय क्षेत्रात एखाद्या रोगनिदान चाचणीची विश्वासार्हता ठरविताना, दोन सशर्त संभाव्यतांचा वापर केला जातो. एखादी चाचणी जर चांगली असेल तर, आजारी व्यक्तीला तो आजार खरोखर झाला असल्याचे निदान चाचणीद्वारे होणे आणि निरोगी व्यक्तीला तो आजार नसल्याचे चाचणीद्वारे सिद्ध होणे या दोन्ही संभाव्यता 1 च्या जवळपास असायला हव्यात. या दोन सशर्त संभाव्यतांना, अनुक्रमे सूक्ष्मभेदग्राहकता आणि विशिष्टता असे म्हटले जाते.

जीवन विमा खरेदी करताना, विमाधारकाच्या वयानुसार विमाहप्त्याची रक्कम बदलत असते. विमाधारकाच्या मृत्यूची सशर्त संभाव्यता वयानुसार बदलत असल्याने हा बदल घडून येतो. ईमेलचे वर्गीकरण करताना, इमेल मधील विशिष्ट शब्दसमूहांवरून इमेल उपयोगी व निरुपयोगी असण्याची सशर्त संभाव्यता काढली जाते. उदा., ईमेलमध्ये ‘लॉटरी जिंका’ असा शब्दसमूह आढळून आल्यास ईमेल निरुपयोगी / उपद्रवी असण्याची सशर्त संभाव्यता, ईमेल उपयोगी असण्याच्या सशर्त संभाव्यतेपेक्षा कितीतरी पट अधिक असते. यामुळेच असे शब्दसमूह असणारे ईमेल, आपोआपच स्पॅम / जंक फोल्डरमध्ये टाकले जातात. संगणकाद्वारे भाषांतर करताना देखील एखाद्या शब्दाच्या अनेक अर्थांपैकी कोणता अर्थ दिलेल्या वाक्यात सर्वाधिक चपखलपणे बसतो आहे हे ठरवण्यासाठी, प्रत्येक अर्थाची त्या वाक्यातील इतर शब्दांवर अवलंबून असणारी सशर्त संभाव्यता काढून सर्वाधिक सुयोग्य अर्थ निवडला जातो. न्यायालयातील न्यायदानाच्या प्रक्रियेतदेखील सादर केल्या गेलेल्या पुराव्यांवरून आरोपी हा गुन्हेगार असण्याची सशर्त संभाव्यता ही १ च्या जवळपास येत असल्यास, गुन्हा सिद्ध झाला असे म्हटले जाते.

सशर्त संभाव्यता काढण्यासाठी वापरण्यात येणाऱ्या बेझच्या प्रमेयावरून बेझियन संख्याशास्त्र ही संख्याशास्त्राची नवी शाखा उदयास आली आहे. सध्या झपाट्याने विकसित होत असणाऱ्या कृत्रिम बुद्धिमत्तेसारख्या क्षेत्रांमध्ये बेझियन संख्याशास्त्र मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाते.

पहा : संभाव्यता – २; सांख्यिकीय अनुमानशास्त्र.

संदर्भ :

  • Daniel Wayne, Biostatistics: A Foundation for Analysis in the Health Sciences (Ninth ed.),Wiley, pages 79-83, (2009).
  • Gut, Allan, Probability: A Graduate Course(Second ed.). Springer, page 17, (2013).
  • Wasserman, Larry, All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference,Springer, pages 10-13, (2003).

समीक्षक : डॉ. अनिल गोरे