संख्यापक (Quantifier)

विधेय तर्कशास्त्रात संख्यापनाला महत्त्वाचे स्थान आहे. परिगणक, संख्यिकारक/संख्यापक यांना इंग्रजीमध्ये ‘क्वान्टिफायर’ असे म्हणतात.

जेव्हा आपण एखाद्या बागेत जातो. तिथे झाडांना भरपूर फळे आणि फुले लागलेली आहेत. तिथे असणऱ्या एका फुलातून सुवास येत आहे. हे आपण अनुभवल्यानंतर एवढेच म्हणू की, सर्व फुले सुवासिक आहेत. समोरच्याने प्रश्न विचारला की, किती फुले सुवासिक आहेत व किती फुले उमललेली नाहीत? या प्रश्नाचे उत्तर अगदी बरोबर म्हणजेच तंतोतंत संख्येत देता येणार नाही; कारण झाड मोठे असल्यामुळे मोजण्याला काही मर्यादा पडतात. तसेच आपण जेव्हा रात्री आकाशात पाहतो, तेव्हा ‘सर्व तारे स्वयंप्रकाशित आहेत’ असे आपणास दिसते. मग असे म्हणत असताना किती तारे चमकणारे आहेत? असा प्रश्न केल्यास त्याचेदेखील निश्चित असे तंतोतंत उत्तर देता येऊ शकत नाही. म्हणजेच या ठिकाणी संख्येचा प्रश्न निर्माण झाला आहे. वरील उदाहरणांमध्ये उल्लेख करण्यात आलेले सर्व (All) व काही (Some) हे शब्द संख्यादर्शक आहेत. सार्विक सामान्यवाची विधान व अस्तित्वदर्शक विधान यांकरिता या संख्यापकाचा उपयोग होतो. म्हणून त्याचे स्पष्टीकरण पुढीलप्रमाणे केले जाते. संख्यापकाच्या मदतीने सर्ववाची आणि अंशवाची विधानाचे चिन्हांकन करण्यासाठी विधान आणि त्याचे प्रकार समजून घेणे आवश्यक आहे.

विधानांचे वर्गीकरण : अ) एकवाची किंवा व्यक्तिवाची विधाने : ‘ज्या विधानांमध्ये एका व्यक्तीच्या नावाचा स्पष्टपणे उल्लेख केलेला असतो त्यास एकवाची किंवा व्यक्तिवाची विधान असे म्हणतात’.

व्यक्तिवाची विधानात उद्देश्य व विधेय असे घटक असतात. ज्याला उद्देशून विधान केलेले असते, ते म्हणजे उद्देश्य होय; तर उद्देश्याविषयीचा गुणधर्म ज्या शब्दाने सांगितलेला असतो त्यास विधेय म्हणतात. व्यक्ती या शब्दाने मनुष्यव्यक्ती, विशिष्ट वस्तू, विशिष्ट जीव, विशिष्ट ठिकाण, विशिष्ट घटना इत्यादींचा निर्देश होतो.

व्यक्तिवाची विधानांचे चिन्हांकन करण्यासाठी विधेयासाठीचे अक्षर इंग्रजी मोठ्या लिपित (A-Z) लिहावे व त्यापुढे उद्देश्याविषयीचे अक्षर इंग्रजी छोट्या लिपिमध्ये (a-w) लिहावे.

ब. सामान्यवाची विधान : १. सर्ववाची/सार्विक विधाने : ‘सर्वांना उद्देशून जेव्हा विधान केले जाते, तेव्हा त्यास सार्विक किंवा सर्ववाची विधान म्हणतात’.

उदाहरण :

सर्व हंस पांढरे असतात.
प्रत्येकजण जिज्ञासू असतो.
एकही घर करोनाग्रस्त नव्हते.
सर्व संत्र्यात ‘क’ जीवनसत्त्व असते.

२. अंशवाची/अस्तित्ववाची विधान : यालाच काहीवाची विधान असेही म्हटले जाते. ‘काही व्यक्तींना उद्देशून जेव्हा विधान केले जाते, तेव्हा त्यास अंशवाची किंवा अस्तित्ववाची विधान असे म्हणतात’.

उदाहरण :

काही पालक सर्जनशील असतात.
काही विद्यार्थी हुशार असतात.
बरेचसे विद्यार्थी उपस्थित आहेत.
अनेक फुले ताजी आहेत.
सर्वच चकाकणाऱ्या वस्तू सोने नसतात.

वरील विधानांचे तार्किक चीन्हांकन करण्यासाठी विधेय तर्कशास्त्रातील सार्विक व अंशवाची संख्यापकाची आवश्यकता असते. त्याच्या साहाय्याने आपणास अशा विधानांचे चीन्हांकन करणे शक्य असते.

सर्ववाची/सार्विक संख्यिकारक (Universal Quantifier) : सार्विक संख्यिकारकाचा विचार करीत असताना सार्विक सामान्यवाची विधानांचा परामर्श घेणे आवश्यक ठरते.

उदाहरण :

सर्व हंस पांढरे असतात.
प्रत्येकजण जिज्ञासू असतो.
एकही घर करोनाग्रस्त नव्हते.
संत्र्यात ‘क’ जीवनसत्त्व असते.

वरील दिलेल्या विधानांपैकी केवळ पहिल्या विधानामध्ये ‘सर्व’ हा शब्द आलेला आहे. मात्र इतर चारही विधानांमध्ये जरी ‘सर्व’ हा शब्द स्पष्टपणे आला नसला, तरी या सर्व विधानांचा कल ‘सर्व’ हाच अर्थ दर्शविण्याकडे आहे, हे आपल्या सर्वांच्या लक्षात येते. म्हणजेच ती उर्वरित विधाने सार्विक स्वरूपाची विधाने आहेत. अशा प्रकारची सार्विकता दर्शविण्यासाठी विधेय तर्कशास्त्रात (X) हे चिन्ह वापरले जाते. याला सार्विक संख्यापक असे म्हणतात.

(X) चा अर्थ ‘x’ च्या सर्व मूल्यांसाठी असा आहे. या ठिकाणी हेदेखील लक्षात घेणे आवश्यक आहे की, कंसातील x व कंसाबाहेरील x यांमध्ये फरक आहे. (X) या चिन्हाला सार्विक संख्यापक म्हटले जाते, तर फक्त x हे व्यक्तिचल होय.

वरील उदाहरणात उद्देश्य व विधेय यांकरिता इंग्रजीमधील मोठ्या (Capital) वर्णमालेचा वापर केला जातो. विश्वातील कोणताही घटक घेतला तरीही या शब्दप्रयोगाला सार्विक संख्यापक म्हणावयाचे. सार्विक संख्यापक हा (X) या चिन्हाने दर्शविला जातो.

नियम :

दिलेले विधान सर्व, प्रत्येक, एकही, कोणीही, कोणताही अशा प्रकारच्या शब्दांनी युक्त असल्यास त्या विधानाचे सार्विक/सर्ववाची संख्यापकाच्या साहाय्याने चीन्हांकन करता येते.
सर्व, प्रत्येक, एकही, कोणीही, कोणताही अशा प्रकारचा शब्दप्रयोग असल्यास विधानाचे चिन्हांकन करण्यासाठी (X) हा संख्यीकारक चिन्हांकित विधानात सुरुवातीला लिहावा.
(X) हा संख्यीकारक चिन्हांकित विधानात सुरुवातीला लिहिल्यानंतर पुढे कंसात दिलेल्या विधानातील उद्देश्यपद दर्शविणारे इंग्रजी आद्याक्षर लिहावे त्यानंतर व्यंजनचिन्ह (⸧) लिहून विधेयाचे इंग्रजी आद्याक्षर लिहावे व कंस पूर्ण करावा.
विधानाचे चिन्हांकन करताना कंसातील उद्देश्य व विधेयचरासोबत x हे चर लिहावे.

या संख्यापकाच्या साहाय्याने ‘सर्व माणसे प्रामाणिक असतात’ या विधानाचे चिन्हांकन पुढीलप्रमाणे होते :

चिन्हांकित स्वरूप : (X) (Mx ⸧ Hx)

सार्विक सांख्यिकारक (X) हा तेव्हाच सत्य असतो, जेव्हा तो कोणत्याही व्यक्तीच्या संदर्भात सत्य असतो.

सर्ववाची विधानांचे चिन्हांकन :

१. सर्व माणसे प्रामाणिक आहेत. [माणसे = Mx; प्रामाणिक =Hx]

(X) (Mx ⊃ Hx)

२. एकही त्रिकोण वर्तुळ नाही. [त्रिकोण = Tx; वर्तुळ = Cx]

(X) (Tx ⊃ ~Cx)

३. प्रत्येकजण जिज्ञासू असतो. [प्रत्येकजण = Ix; जिज्ञासू =Cx]

(X) (Ix ⊃ Cx)

४. संत्र्यात ‘क’ जीवनसत्त्व असते. [संत्री = Ox; ‘क’ जीवनसत्त्व =Cx]

(X) (Ox ⊃ Cx)

‘फक्त’, ‘केवळ’ असा शब्दप्रयोग विधानात असेल, तर त्या विधानांचे चीन्हांकन करताना उद्देश्य व विधेयाच्या जागा बदलतात.

उदाहरण :

१. फक्त अधिकाऱ्यांनाच सचिव असतात. (अधिकारी = Ox, सचिव = Sx)

(X) (Sx ⸧ Ox)

२. केवळ घोडे चपळ असतात. (घोडे = Hx, चपळ = Ax)

(X) (Ax ⸧ Hx)

अंशवाची/अस्तित्ववाची संख्यिकारक (Existential Quantifier) : सामान्यवाची विधानाचा ‘अस्तित्ववाची सामान्य विधान’ हा एक प्रकार आहे.

उदाहरण :

काही पुस्तके महाग असतात.
सर्वच पुस्तके वाचनीय नसतात.
अनेक लोक उपस्थित आहेत.
बरेच लोक गायक आहेत.

ही सर्व विधाने अस्तित्ववाची आहेत. या विधानांत सर्वांविषयीची माहिती नसून ‘काही’ (Some) विषयीची माहिती आहे. या ‘काही’साठी (Ǝx) हे संख्यीकारक वापरले जाते. या संख्यीकारकाचा अर्थ ‘x’च्या काही मूल्यासाठी असा आहे. हा संख्यीकारक तेव्हाच खरा ठरतो, जेव्हा तो किमान एका व्यक्तीच्या संदर्भात खरा ठरतो.

‘काही माणसे प्रामाणिक असतात’ या विधानाचे चिन्हांकन करताना निदान एक ‘X’ अस्तित्वात आहे की जो प्रामाणिक आहे. हा शब्दप्रयोग अस्तित्ववाची आहे म्हणून त्यास अस्तित्ववाची संख्यापक (Ǝx) असे म्हणतात.

नियम :

दिलेले विधान काही, बरेच, बहुतेक, अनेक अशा प्रकारच्या शब्दांनी युक्त असल्यास त्या विधानाचे चिन्हांकन अंशवाची/काहीवाची संख्यापकाने करता येते.
अंशवाची शब्दप्रयोग असल्याने विधानाचे चिन्हांकन करण्यासाठी (Ǝx) हा संख्यीकारक चिन्हांकित विधानात सुरुवातीला लिहावा.
(Ǝx) हा संख्यीकारक चिन्हांकित विधानात सुरुवातीला लिहिल्यानंतर पुढे कंसात दिलेल्या विधानातील उद्देशपद दर्शविणारे इंग्रजी आद्याक्षर लिहावे त्यानंतर संधी चिन्ह (●) लिहून विधेयाचे इंग्रजी आद्याक्षर लिहावे व कंस पूर्ण करावा.
विधानाचे चिन्हांकन करताना कंसातील उद्देश्य व विधेय चरासोबत ‘x’ हे चर लिहावे.

चिन्हांकित स्वरूप : (Ǝx)(Mx ● Hx)