कँटरचा संच सिद्धांत (Cantor’s Set Theorem)

एकोणिसाव्या शतकाच्या उत्तरार्धात जर्मन गणितज्ञ गेओर्क कँटर यांनी संच सिद्धांत विकसित करून गणिताला नवी दिशा दिली. गेओर्क कँटर यांना आधुनिक संच सिद्धांताचे जनक मानले जाते. त्यांच्या संशोधनामुळे आधुनिक गणित, तर्कशास्त्र आणि संगणकशास्त्राच्या विकासाला भक्कम पाया मिळाला. त्यांनी प्रथमच अनंत ही एकच संकल्पना नसून त्यालाही वेगवेगळ्या श्रेणी असतात हे सिद्ध केले. १९व्या शतकाच्या अखेरीस जर्मन गणितज्ञ गेओर्क कँटर यांनी या क्षेत्रात काम करण्यास सुरुवात करेपर्यंत, अनंत संचांच्या बाबतीत कोणीही गांभीर्याने विचार केला नव्हता.

घात संच (Power Set) : संच सिद्धांतातील कँटरचे प्रमेय हे असे आहे की, एखाद्या संचाची संख्‍यादर्शकता ही त्याच्या घातांक संचाच्या, म्हणजेच उपसंचांच्या संग्रहाच्या संख्‍यादर्शकतेपेक्षा निश्चितपणे कमी असते. कोणताही संच A च्या सर्व उपसंचांच्या संचाला घात संच किंवा घातांक संच म्हणतात व तो P(A) असा लिहितात. जर |A|=n, तर |P(A)|=2^n.

उदाहरणार्थ :  जर A=\{1, 2 \}, तर P(A)=\{\emptyset,\{1 \},\{2 \},\{1, 2 \}\}.

म्हणून |A|=2 आणि |P(A)|=4. तसेच B=\{1, 2 ,3 \} असल्यास P(B)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1 ,2 \},\{1 ,3 \},\{2 , 3 \}, \{1 ,2 ,3 \}\} आणि   |P(B)|=2^3 =8 .

कँटर यांनी दाखवून दिले की घातांक संच हा नेहमीच मूळ संचापेक्षा मोठा असतो. जर मूळ संचामध्ये n एवढे घटक असतील तर घातांक संचामध्ये 2^n एवढे घटक असतात. हा नियम अनंत संचालाही लागू होतो.

अनंताचे प्रकार : कँटर यांनी दाखवून दिले की सर्व अनंत सारखे नसतात. संचांचे त्यांच्या महत्तेनुसार (आकारमानानुसार) खालील प्रकारांमध्ये विभागणी  करता येईल.

  • गणनीय संच (Countable set) : कुठलाही संच जर सांत असेल अथवा त्या संचाची नैसर्गिक संख्यांच्या संचाबरोबर  एकास-एक संगती लावता आली  तर अशा  संचास गणनीय संच असे म्हणतात. थोडक्यात ज्या संचाच्या घटकांची यादी करता येते त्या संचास गणनीय संच म्हणतात.  नैसर्गिक संख्यांचा संच \mathbb{N}=\{ 1 ,2 ,3 ,\ldots\}  हा एक गणनीय  अनंत  संच असून त्याची महत्ता  \aleph_0 अशी दर्शविली जाते.
  • अगणित संच (Uncountable set) : गणनीय नसलेल्या संचास अगणित संच असे म्हणतात. वास्तव संख्यांचा संच \mathbb{R} हा अगणित संच आहे व याची सिद्धता कँटरच्या विकर्णन युक्तिवादाचा वापर करून खालीलप्रमाणे  देता येईल.

कँटरचा विकर्णन युक्तिवाद (Cantor’s diagonalization argument) : अनंत संचांसाठीच्या कँटरच्या प्रमेयाचा १८९१ मधील पुरावा हा त्यांच्या विकर्णन युक्तिवादाच्या एका आवृत्तीवर आधारित होता; परिमेय संख्या आणि पूर्णांक संख्या यांच्यात ‘एकास-एक संगती’ (one-to-one correspondence) प्रस्थापित करून त्या दोन्ही संचांची संख्‍यादर्शकता (cardinality) समान असते हे सिद्ध करण्यासाठी त्याने यापूर्वी याच युक्तिवादाचा वापर केला होता.

समजा ० आणि १ मधील सर्व वास्तव संख्यांची यादी करता येते.

0 .{\bf 3 }8265 ...\\ 0.7{\bf 2}539...\\ 0.68{\bf 9}13 ...\\ 0.281{\bf 7}4..\\ ..\\ ..\\

आता प्रत्येक संख्येतील अनुक्रमे पहिला, दुसरा, तिसरा, चौथा… असा कर्णावरील (Diagonal) अंक निवडू. उदाहरणार्थ वर ठळक केलेले अंक 3, 2, 9, 7, …. यानंतर अशी नवीन संख्या तयार करू की तिच्या प्रत्येक दशांश स्थानील अंक हा संबंधित कर्णावरील अंकापेक्षा वेगळा असेल. उदाहरणार्थ, 3 ऐवजी 4, 9 ऐवजी 0 इत्यादी.त्यामुळे एक नवीन संख्या तयार होईल, जसे 0.3408….

कर्णावरील अंक बदलून नवीन संख्या तयार केली असता ती यादीतील कोणत्याही संख्येशी जुळत नाही. म्हणून वास्तव संख्यांची संपूर्ण यादी बनविणे अशक्य आहे. त्यामुळे वास्तव संख्यांचा संच हा अगणित संच आहे.

सर्वात मोठा अनंत अस्तित्वात नाही : कोणत्याही संचाचा घातांक संच मूळ संचापेक्षा मोठा असल्यामुळे प्रत्येक अनंतापेक्षा मोठा दुसरा अनंत अस्तित्वात असतो. म्हणून सर्वात मोठा अनंत संच असू शकत नाही.

  • सातत्याचे गृहीतक (Continuum Hypothesis) : जॉर्ज कँटर यांनी गणित आणि तर्कशास्त्रातील (Logic) आजवरच्या सर्वांत गूढ आणि वादग्रस्त कोड्यांपैकी एक असलेले सातत्याचे किंवा संततक गृहितक (Continuum Hypothesis – CH) हे १८७८ मध्ये मांडले होते. त्यामध्ये त्यांनी नैसर्गिक संख्यांच्या अनंतापेक्षा मोठा, पण वास्तव संख्यांच्या अनंतापेक्षा लहान असा एखादा तिसरा अनंत संच असू शकत नाही अशी मांडणी केली. परंतु त्यांना हे सिद्ध करण्यात यश मिळाले नाही.  पुढे विसाव्या शतकात या गृहीतकाने गणिताच्या पायालाच हादरवून सोडले. दोन महान गणितज्ञ  कुर्ट गोडेल व पॉल कोहेन यांनी हे सिद्ध केले की,  हा प्रश्न ZFC संचसिद्धांताच्या  (Zermelo-Fraenkel set theory with the Axiom of Choice: झर्मेलो-फ्रान्केल संच सिद्धांत निवडीच्या गृहीतकासोबत)  नियमांनी कधीच सोडवला जाऊ शकत नाही.

कुर्ट गोडेल यांनी हे गृहीतक खोटे ठरविता येत नाही, तर पॉल कोहेन यांनी ते खरेही सिद्ध करता येत नाही, हे दाखवून दिले. त्यामुळे हे गृहीतक ZFC संच सिद्धांतापासून स्वतंत्र (independent) आहे असे सिद्ध होते.

संदर्भ :

  • Dauben, Joseph Warren,  Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite.
  • Johri, Alisha A.; Johri, Pravin K. Why The Cantor Diagonal Argument is Not Valid : and there is no such things as an infinite set, 2018

समीक्षक : गणेश कडू

Discover more from मराठी विश्वकोश

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Tags: , , , , , , ,