बहुकोनी संख्या (Polygonal Number)

जी संख्या समान अंतरावरील बिंदूंद्वारे द्विमितीय सुसम बहुभुजाकृतीच्या स्वरूपात दाखवता येते, त्या संख्येला बहुकोनी संख्या म्हणतात. बहुकोनी संख्या हा द्विमीतीय फिगरेट संख्यांचा एक प्रकार आहे. कोणतीही पहिली बहुकोनी संख्या 1 ही असते.

बहुकोनी संख्यांचे काही प्रकार पुढीलप्रमाणे आहेत :

१) त्रिकोणी संख्या : ज्या संख्या समान अंतरावरील बिंदूंनी तयार झालेल्या समभुज त्रिकोणाच्या आकृतीबंधाच्या स्वरूपात दाखवता येतात, त्या त्रिकोणी संख्या होय. $n$ क्रमांकाची त्रिकोणी संख्या ही $n$ पर्यंतच्या सर्व नैसर्गिक संख्यांच्या बेरजेइतकी असते.

$T_n$ ही $n$ क्रमांकाची त्रिकोणी संख्या शोधण्याचे सूत्र : $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ (येथे n ही नैसर्गिक संख्या आहे) हे सूत्र कार्ल गाउस यांनी शोधल्याचे मानले जाते. पायथागोरसच्या पंथातील लोकांनी इ.स. पूर्व पाचव्या शतकादरम्यान त्यासंबंधी संशोधन केले होते, असे उल्लेख आढळतात. $n$ क्रमांकाची त्रिकोणी संख्या ही ⁽ⁿ⁺¹⁾C₂या द्विपद सहगुणकाएवढी (Binomial Coefficient) एवढी असते. प्रत्येक सम परिपूर्ण संख्या ही त्रिकोणी संख्या असते.

२) चौरस संख्या : ज्या संख्या समान अंतरावरील बिंदूंनी तयार झालेल्या चौरसाच्या आकृतीबंधाच्या स्वरूपात दाखवता येतात, त्या चौरस संख्या होय. या सर्व पूर्ण वर्ग संख्या (पूर्णांकांचे वर्ग) असतात. म्हणजेच $n$ क्रमांकाची चौरस संख्या $n^2 ; n\in \mathbb{N}$ , ही असते.

$n$ क्रमांकाची चौरस संख्या ही पहिल्या $n$ विषम नैसर्गिक संख्यांच्या बेरजेइतकी असते. उदाहरणार्थ, $4 = 1 + 3, 9 = 1 + 3 + 5, 16 = 1 + 3 + 5 + 7$ . चौरस संख्या या दोन लगतच्या त्रिकोणी संख्यांच्या बेरजेने मिळवता येतात. उदाहरणार्थ, $4 = 1 + 3, 9 = 3 + 6, 16 = 6 + 10$ . कोणतीही चौरस संख्या ही परिपूर्ण संख्या नसते.

पहिल्या काही चौरस संख्या पुढीलप्रमाणे : $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...$

$1, 36, 1225, ...$ अशा अनेक त्रिकोणी चौरस संख्या (त्रिकोणी असलेल्या चौरस संख्या) अस्तित्वात आहेत.

३) पंचकोनी संख्या : ज्या संख्या समान अंतरावरील बिंदूंनी तयार झालेल्या सुसम पंचकोनाच्या आकृतीबंधाच्या स्वरूपात दाखवता येतात, त्या पंचकोनी संख्या होय. $n$ वी पंचकोनी संख्या ही, $P_n = \frac{3n^2 - n}{2}$ (येथे n ही नैसर्गिक संख्या आहे) या सूत्राने दिली जाते.

$n$ वी पंचकोनी संख्या ही $n$ पासून सुरू होणाऱ्या $n$ क्रमवार नैसर्गिक संख्यांची बेरीज असते. उदाहरणार्थ, दुसरी पंचकोनी संख्या ही $2 + 3 = 5$ , तिसरी पंचकोनी संख्या ही $3 + 4 + 5 = 12$ . तसेच $n$ वी पंचकोनी संख्येची तिप्पट ही $(3n-1)$ वी त्रिकोणी संख्या असते. उदाहरणार्थ, पहिल्या पंचकोनी संख्या $1$ ची तिप्पट ही दुसरी त्रिकोणी संख्या $3$ , दुसऱ्या पंचकोनी संख्या $5$ ची तिप्पट ही पाचवी त्रिकोणी संख्या $15$ होय.

पहिल्या काही पंचकोनी संख्या पुढीलप्रमाणे : $1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ...$

$1, 9801, ...$ अशा अनेक चौरस पंचकोनी संख्या (चौरस असलेल्या पंचकोनी संख्या) अस्तित्वात आहेत.

अशाच प्रकारे पुढे जाऊन षट्कोनी संख्या, सप्तकोनी संख्या, अष्टकोनी संख्या इ. बहुकोनी संख्यांचा अभ्यास केला जातो. $s$ एवढ्या बाजू असणाऱ्या सुसम बहुभुजाकृतीच्या स्वरूपात मांडल्या जाणाऱ्या $s$ -कोनी अशा $n$ क्रमांकाच्या बहुकोनी संख्येचे सूत्र $P(s,n) = \frac{(s-2)n^2 - (s-4)n}{2} ; n\in \mathbb{N}$ असे आहे. उदा.‚ या सूत्राने दुसरी षट्कोनी संख्या (s = 6, n = 2) 6 ही मिळते. प्रत्येक षट्कोनी संख्या ही त्रिकोणी संख्या असते. सर्व विषम क्रमांकाच्या त्रिकोणी संख्या याच षट्कोनी संख्या आहेत. ‘n’ वी $s$ -कोनी संख्या $P(s,n)$ ही $(n - 1)$ व्या $T_{n-1}$ या त्रिकोणी संख्येशी $P(s,n) = (s-2)T_{n-1} + n$ या सूत्राने संबंधित आहे.

बहुकोनी संख्यांबाबत फेर्मा यांचा बहुकोनी संख्यांचा सिद्धांत प्रसिद्ध आहे. त्यानुसार कोणतीही नैसर्गिक संख्या ही जास्तीत जास्त $n$ एवढ्या $n$ -कोनी संख्या वापरून त्यांच्या बेरजेच्या स्वरूपात लिहिता येते. उदा., कोणतीही नैसर्गिक संख्या तीन किंवा त्याहून कमी त्रिकोणी संख्यांची बेरीज म्हणून, तसेच चार किंवा त्याहून कमी चौकोनी संख्यांची बेरीज म्हणून लिहिता येते. उदाहरणार्थ, $17 = 10 + 6 + 1$ (त्रिकोणी संख्या), $17 = 16 + 1$ (चौरस संख्या), $17 = 12 + 5$ (पंचकोनी संख्या). हा सिद्धांत प्येअर फेर्मा यांनी 1638 मध्ये सांगितला. तो चौरस संख्यांसाठी 1770 मध्ये झोझेफ ल्वी लाग्रांझ यांनी आणि त्रिकोणी संख्यांसाठी 1796 साली कार्ल फ्रीड्रिख गौस (गाउस) यांनी सिद्ध केला. परंतु संपूर्ण सिद्धता ही 1813 साली ऑग्युस्तीन ल्वी कोशी यांनी दिली. ऑयलर यांनीही बहुकोनी संख्यांवर संशोधन केलेले आहे. सध्याही संख्याशास्त्रामध्ये बहुकोनी संख्यांबाबतच्या विविध अटकळींवर संशोधन सुरू आहे.

फिगरेट संख्यांचे बहुकोनी संख्यांशिवाय आयत संख्या, समलंब चौकोनी संख्या, L-आकाराच्या संख्या, घन संख्या, चतुष्फलकी (tetrahedral) संख्या, शंक्वाकृती संख्या इत्यादी अनेक प्रकार आहेत.

संदर्भ:

समीक्षक : अनुराधा गर्गे

Share this:

You Might Also Like

कापरेकर स्थिरांक, ४९५ आणि ६१७४ (Kaparekar Constant, 495 and 6174)

शब्दांक

इरेटॉस्थेनिझची चाळणी (Sieve of Eratosthenes)

वल्ली

परिपूर्ण संख्या (Perfect Numbers)