स्थानमान म्हणजे आधारसामग्रीचे वर्णन करणारे एक ठराविक किंवा केंद्रीय मूल्य. अनेक सांख्यिकीय विश्लेषणांमधील मूलभूत कार्य म्हणजे वितरणासाठी स्थान प्राचलाचा अंदाज करणे. म्हणजेच आधारसामग्रीचे उत्तम वर्णन करणारे स्थानमान शोधणे.

गणित मध्य

गणित मध्य  (Arithmetic Mean) : संख्याशास्त्रात आधारसामग्रीवरून (Data) निष्कर्ष काढण्याची पद्धत आहे. अशा आधारसामग्रीचे एक संक्षिप्त रूप जे सर्व संख्यांना सामावून घेते, त्याला गणित मध्य असे म्हणतात. गणित मध्य संपूर्ण आधारसामग्रीचे प्रतिनिधित्व करते. यास सर्वसामान्यपणे ‘सरासरी’ असेही म्हणतात. भारतात एप्रिल / मे मध्ये सर्व वर्तमानपत्रामध्ये अशा बातम्या येतात की “यावर्षी सरासरीपेक्षा पाऊस जास्त पडणार आहे”. संख्याशास्त्रात गणित मध्य काढण्याचे सूत्र दिलेले आहे.

X = \frac {x_1 + x_2 + x_3 + .... +x_n} {n}

आधारसामग्रीमध्ये x1, x2, …, xn अशा n संख्या आहेत. गणित मध्य  x  या संकेतनाने (notation) दाखविले जाते.

उदाहरणार्थ, समजा आनंदला दहावीच्या परीक्षेतील पाच विषयात खालील गुण आहेत.

90, 85, 95, 98, 100

x1= 90,  x2= 85, x3= 95, x4= 98, x5= 100.

x = (90+85+95+98+100)/5 = 93.5

काही पुस्तकात याला केवळ मध्य किंवा सरासरी असेही म्हणतात. देशात प्रत्येक माणसी उत्पन्न किंवा खर्च काढण्यासाठीदेखील  या सूत्राचा उपयोग करतात.

गणित मध्यावर अनेक बैजिक (algebraic) पद्धती लावता येतात. याचे वैशिष्ट्य म्हणजे हा मध्य निरीक्षण केलेल्या सर्व संख्यांवर अवलंबून आहे. आधारसामग्री मधील नमुन्यामध्ये (sample) जरी चढउतार झाले तरी गणित मध्याच्या अचुकतेवर फारसा परिणाम होत नाही.

भारित मध्य (Weighted mean) : गणित मध्य काढताना सर्व चलांना सारखेच महत्त्व असते. दहावीच्या मुलांना सर्व विषय सारखेच महत्‍त्वाचे असतात. अशावेळी आपण गणित मध्य काढतो. जीवन निर्देशांक किंमतीची गणना करताना दैनंदिन वापरल्या जाणाऱ्या गोष्टींचे भार निरनिराळे असते. कारण अशा गोष्टींची, जसे, गहू, तांदूळ, ज्वारी, कडधान्य, चहा, फेसपावडर इत्यादींची, गरज कमी जास्त असते. भारित मध्य काढण्यासाठी  खालील सूत्राचा उपयोग करतात.

X_{bar} = \frac{\sum(w_r.x_r)} {\sum (w_r)}

येथे wr ला भार असे म्हणतात. उदा., एका शिक्षकाने गणिताच्या  तीन चाचणी परीक्षा प्रत्येकी 100 गुणांच्या घेतल्या. शेवटची चाचणी परिक्षा पहिल्या दोन पेक्षा सोपी होती. म्हणून त्या शिक्षकाने पहिल्या दोन चाचणी परिक्षांचे 40% आणि शेवटच्या चाचणी परिक्षाचे 20% धरण्याचे ठरविले. समजा एका विद्यार्थाला 60, 80 आणि 90 गुण मिळाले तर त्याला 100 पैकी  किती गुण मिळतील?

इथे w1 = 0.4, w2 = 0.4 आणि w3 = 0.2

तसेच x1 = 60, x2 = 80  आणि x3 = 90.

भारित मध्य = xbar = (60 × 0.4 + 80 × 0.4 + 90 × 0.2) / (0.4 + 0.4 + 0.2)

=74.

म्हणजेच त्या विद्यार्थ्याला 100 पैकी 74 गुण मिळाले आहेत.

भूमिती मध्य  (Geometric  mean) : भूमिती मध्याचा उपयोग प्रामुख्याने चलातील बदल दर्शविण्यासाठी होतो. लोकसंख्या वृद्धीचा दर, व्याज दर, निर्देशांक इ. मध्ये भूमिती मध्याचा उपयोग होतो. आपल्याकडे x1, x2, …., xn अशा निरीक्षण केलेल्या n संख्या आहेत, तर

भूमिती मध्य = (π xi )1/n            ( i = 1, 2, …, n)

या मध्यावर अनेक बैजिक (algebraic) पद्धती लावता येतात. याचे वैशिष्ट्य म्हणजे हा मध्य निरीक्षण केलेल्या सर्व संख्यावर अवलंबून आहे. येथे लहान संख्यांचे महत्‍त्व अधिक आहे.

येथे एखादी संख्या शून्य असेल तर भूमिती मध्य शून्य होतो. समजा आपल्याकडे पाच संख्या असतील आणि 1/3/5 संख्या ऋण असतील तर भूमिती मध्य काढता येत नाही. निरीक्षण केलेल्या संख्यांमध्ये जर विषम आकारमान असलेल्या ऋण संख्या असतील तर भूमिती मध्य काढता येत नाही. यामुळे याच्या वापरावर मर्यादा येते.

संयुक्त मध्य (Combined mean) : दोन किंवा अधिक गटांची सरासरीबद्दल माहिती उपलब्ध असल्यास, त्याच्याबद्दल एका संख्येत सांगायचे असल्यास संयुक्त मध्याचा उपयोग होतो. आधारसामग्रीवरून (nr, xrbar), r = 1, 2, …, m अशा श्रेणी उपलब्ध आहेत .तर संयुक्त मध्य खालील सूत्राने काढला जातो.

x_{bar} = \frac {\sum(n_r . x_{rbar})} {\sum (n_r)}

उदाहरणार्थ : दोन कापड गिरण्यांची कामगार संख्या आणि वेतन गणित मध्य उपलब्ध आहे.

गिरणी कामगार संख्या वेतन ( गणित मध्य)
लक्ष्मी   1200  7500
कोहिनूर   1300 8500

संयुक्त मध्य = (1200 × 7500 + 1300 × 8500) / 2500 = 8020.

जर wr = nr असेल तर भारित मध्य हा संयुक्त मध्य असतो. पुढे nr = n , हे प्रत्येक r साठी सत्य असेल तर संयुक्त मध्य हा गणित मध्य असतो.

संवादी मध्य  (Harmonic mean) : आधारसामग्री मधील संख्या जर गती, दर आणि वेळेशी संबंधित असेल तर संवादी मध्याचा उपयोग होतो. आपल्याकडे x1, x2, ….., xn

अशा निरीक्षण केलेल्या  n संख्या आहेत, तर

संवादी मध्य = \frac{1}{n}[\sum(\frac{1}{x_i})]^{-1}

याचे वैशिष्ट्य म्हणजे हा मध्य निरीक्षण केलेल्या सर्व संख्यांवर अवलंबून आहे.

येथे एखादी संख्या शून्य असेल तर संवादी मध्य काढता येत नाही. नमुना निवडीमधील चढ उतारा मुळे या मध्यावर कोणताही परिणाम होत नाही. जर लहान संख्यांना अधिक महत्त्व असेल तर याचा उपयोग मोठ्या प्रमाणात केला जातो. काही अर्थशास्त्रीय निरीक्षण संख्यांच्या बाबतीत  हा मध्य काढता येत नाही. उदाहरणार्थ, विकास दर.

मध्यक (Median) : निरीक्षण केलेल्या संख्या उतरत्या किंवा चढत्या क्रमाने लिहिल्यास त्यातील मधोमध येणाऱ्या संख्येला मध्यक असे म्हणतात. निरीक्षण केलेल्या एकूण संख्या जर  सम असतील तर मधल्या दोन संख्यांची सरासरी म्हणजे मध्यक होय. आधारसामग्री जर मुक्तांत वर्गात(open class) असेल तर तिथे मध्यकाचा उपयोग होतो. आधारसामग्री मधील चरम मुल्यांचा (extreme value) मध्यकावर कोणताही परिणाम होत नाही. कालक्रमिका आलेखावरून (histogram) मध्यकाची किंमत काढता येते. आधारसामग्री असममिती (skewness) असल्यास मध्यक उपयुक्त आहे. निरिक्षण केलेल्या एकूण संख्या जास्त असल्यास मध्यक काढणे कठीण जाते. परंतु  संगणकाच्या सहायाने ते सहत शक्य आहे. दोन आधारसामुग्रीच्या मध्यकावरून संयुक्त मध्यक काढता येत नाही.

उदाहरणे : निरिक्षण केलेल्या संख्या खालील प्रमाणे आहेत.

(अ) 5, 3, 6, 4, 10, 8, 12

(ब) 12, 15, 11, 18, 9, 17

(अ) मधील संख्या चढत्या क्रमाने लिहा

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12

मधली संख्या 6 आहे म्हणून मध्यक 6 आहे.

(ब) मधील संख्या चढत्या क्रमाने लिहा.

9, 11, 12, 15, 17, 18

निरीक्षण केलेल्या संख्या 6 आहेत.

सहा ही संख्या सम असल्यामुळे मधील दोन संख्यांची सरासरी वरून मध्यक काढता येतो.

मध्यक = (12+15) / 2 = 13.5.

बहुलक (Mode) : निरीक्षण केलेल्या संख्येमध्ये एक किंवा अनेक संख्यांची पुनरावृत्ती झालेली असते. ज्या संख्येची सर्वांत जास्त वेळा पुनरावृत्ती झालेली असेल, त्या संख्येला बहुलक असे म्हणतात. अशा संख्या एक किंवा अनेक असतात. काही वेळेस आधारसामग्रीमध्ये बहुलक अस्तित्वात नसतो. ग्राहकांची पसंती अथवा प्राधान्य जेथे काढायचे असते, तिथे बहुलकाचा उपयोग होतो. निरीक्षण केलेल्या एकाच प्रकारची वस्तू विकत घेणाऱ्या शंभर लोकांमध्ये पंच्याऐशी लोकांनी एकाच कंपनीच्या उत्पादित वस्तूला पसंती दिली आहे. तर बहुलक पंच्याऐशी आहे. चरम मूल्यांचा (extreme values) बहुलकावर परिणाम होत नाही. आलेखावरून देखील बहुलक काढता येतो. मोठे आकारमान असलेल्या आधारसामग्रीमध्ये बहुलक काढणे अवघड जाते. बहुलक प्रत्येक संख्येवर अवलंबून नाही. संख्याशास्त्रात अशा मध्याला अस्थिर मध्य म्हणतात.

उदाहरणे : गणिताच्या तीन चाचणी परीक्षेत मिळालेले गुण व त्यांचे बहुलक खालीलप्रमाणे आहेत.

(अ) 8, 8, 9, 4, 12, 15 ; बहुलक = 8.

(ब) 6, 8, 6, 15, 8, 9, 6, 8 ; बहुलक= 6, 8.

(क)  12, 11, 8, 7, 4, 2 ; बहुलक अस्तित्वात नाही.

 

                                                                                                                                                                                             समीक्षक : अनिल दरेकर