संख्यापकीय निगमनाचे नियम (Quantificational Rules)

विधान तर्कशास्त्रामध्ये (Propositional logic) अनुमानाचे नियम व रूपांतरणाचे नियम यांचा वापर युक्तिवादाची वैधता सिद्ध करण्यासाठी केला जातो. मात्र विधेय तर्कशास्त्रामध्ये (Predicate logic) या नियमांबरोबरच आणखी चार संख्यापकीय निगमनाच्या नियमांची भर त्यामध्ये घालावी लागते. हे चार नियम खालीलप्रमाणे :

१. सार्विक/सामान्यवाची उदाहरणीकरण [Universal Instantiation (U.I.)] : हा नियम सार्वत्रिक सामान्य विधानापासून सत्यता फलनात्मक विधाने मिळविण्यासाठी वापरला जातो. विधानीय फलनाचे सार्वत्रिक संख्यापन तेव्हाच सत्य असते, जेव्हा त्याची सर्व दिलेली उदाहरणे सत्य असतात. हा नियम सार्वत्रिक सामान्य विधानाच्या स्वरूपावर आधारित आहे. सार्वत्रिक सामान्य विधान तेव्हाच सत्य असते, जेव्हा विशिष्ट वर्गातील कोणत्याही व्यक्तीला ते विधी अथवा निषेध रूपाने लागू पडते. परिणामतः सार्वत्रिक सामान्य विधानात दिलेल्या व्यक्तिचराच्याऐवजी आपण त्या वर्गातील एखाद्या व्यक्तीच्या नावाचा/व्यक्तिअचराचा वापर केल्यास आपल्याला एकवाची विधान मिळते. U.I.च्या नियमानुसार विधानीय फलनाचे कोणतेही उदाहरण त्याच्या सार्वत्रिक संख्यापनापासून युक्तपणे निगमित करता येते. सोप्या शब्दात सांगायचे तर एखाद्या वर्गाच्या सर्व सदस्यांबाबत जे सत्य आहे, ते त्या वर्गाच्या प्रत्येक सदस्याबाबत सत्य असते, हा या नियमाचा आशय आहे. यावरून आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की, एकतर हा सदस्य विशिष्ट सदस्य आहे किंवा यदृच्छेने निवडलेला सदस्य (Arbitrarily Selected Individual) आहे. उदा., ‘सर्व माणसे प्रामाणिक असतात’ या विधानापासून–विशिष्ट व्यक्ती–’राकेश प्रामाणिक आहे’ असे विधान निगमित करता येते. तसेच ‘सर्व माणसे प्रामाणिक असतात’ या विधानापासून ‘यदृच्छेने निवडलेला माणूस प्रामाणिक आहे’, असेही निगमित करता येते.

U.I. नियमाचे चिन्हात्मक स्वरूप असे :

(x)ɸx

/⸫ ɸѵ (येथे ‘ѵ’ हे व्यक्तिचिन्ह आहे).

युक्तिवादाची वैधता सिद्ध करताना U.I. चा नियम आपणास दोन प्रकारे निष्कर्ष काढण्याचे स्वातंत्र्य देतो. ग्रीक अक्षर असलेले ‘ѵ’ (nu न्यू) हे चिन्ह व्यक्तिचिन्ह असून ते विशिष्ट व्यक्तीचे अथवा यदृच्छेने निवडलेल्या व्यक्तीचे प्रतिनिधित्व करते. ‘y’ हे चिन्ह यदृच्छेने निवडलेल्या व्यक्तीसाठी वापरले जाते आणि विशिष्ट व्यक्ती, व्यक्तिअचलाच्या (a-w) साहाय्याने चिन्हांकित केले जाते. या दोन्ही निष्कर्षांचे चिन्हांकित स्वरूप खालीलप्रमाणे दिले आहे :

१. (x)ɸx २. (x)ɸx

/⸫ ɸa /⸫ ɸy

आता सार्विक उदाहरणीकरणाचा नियम वापरून खालील युक्तिवादाची वैधता सिद्ध करू. युक्तिवादाचे भाषिक व सांकेतिक रूप खालीलप्रमाणे :

भाषिक रूप सांकेतिक रूप

१. सर्व माणसे प्रामाणिक असतात. (x) (Mx ⸧ Hx)

२. राकेश माणूस आहे. /⸫ राकेश प्रामाणिक आहे. Mr /⸫ Hr

वरील युक्तिवादाची सिद्धता पुढीलप्रमाणे :

१. (x) (Mx ⸧ Hx)

२. Mr /⸫ Hr

३. Mr ⸧ Hr — १, U.I.

४. Hr — ३, २, M.P.

U.I. नियमाचा वापर करताना आपणास व्यक्तिअचल (a-w) किंवा यदृच्छेने निवडलेली व्यक्ती ‘y’ घेण्याचा पर्याय आहे. व्यक्तिअचल किंवा ‘y’ घेण्याचा निर्णय, आधार विधाने आणि निष्कर्ष याच्या आधारे घेता येतो. वरील उदाहरणात दुसरे विधान आणि निष्कर्ष हे राकेश या विशिष्ट व्यक्तीविषयी आहेत. म्हणून व्यक्तिअचल ‘r’ घेतले आहे, ज्यामुळे M.P. चा नियम वापरून निष्कर्ष अनुमानित करणे शक्य झाले. जे ‘y’ किंवा ‘r’ व्यतिरिक्त इतर कोणतेही अचर वापरून शक्य झाले नसते.

२. सार्विक सामान्यीकरण [Universal Generalisation (U.G.)] : ह्या नियमाचा वापर सत्यता फलनात्मक विधानापासून सार्वत्रिक सामान्य विधाने निगमित करण्यासाठी केला जातो. एखाद्या वर्गाच्या सर्व सदस्यांबाबत जे सत्य आहे, ते त्या वर्गाच्या प्रत्येक सदस्याबाबत सत्य असते; परंतु वर्गाच्या एखाद्या विशिष्ट व्यक्तीबाबत जे सत्य आहे, ते त्या वर्गाच्या सर्व सदस्यांविषयी सत्य आहे, असे अनुमान आपण करू शकत नाही. उदा., न्यूटन शास्त्रज्ञ आहे म्हणून सर्व व्यक्ती शास्त्रज्ञ आहेत, असा निष्कर्ष काढणे चुकीचे ठरते; परंतु एखाद्या वर्गाचा विचार करताना जर एखादा सामान्य गुणधर्म त्या वर्गातील यदृच्छा निवडलेल्या व्यक्तीला लागू पडतो असे आपल्याला दिसून आले, तर तो गुणधर्म त्या वर्गातील कोणत्याही व्यक्तीला म्हणजे सर्व व्यक्तींना लागू पडतो, असा निष्कर्ष आपल्याला काढता येईल. म्हणजेच सामान्यतः जे एका माणसाच्या बाबतीत सत्य आहे (कोणत्याही विशिष्ट गुणवत्तेचा विचार न करता) ते सर्व माणसांच्या बाबतीत सत्य असते, असे आपण म्हणू शकतो. उदा., मानव विवेकशील आहे, म्हणून सर्व मानव विवेकशील आहेत असे युक्त अनुमान आपण काढू शकतो. म्हणून U.G.च्या नियमानुसार विधानीय फलनाचे सार्वत्रिक संख्यापन त्याच्या यदृच्छा निवडलेली व्यक्ती असलेल्या उदाहरणापासून युक्तपणे निष्पन्न करता येतो.

U.G. नियमाचे चिन्हात्मक स्वरूप असे :

ɸy

/⸫ (x)ɸx (येथे ‘y’ यदृच्छा निवडलेली व्यक्ती आहे).

आता सार्विक सामान्यीकरणाचा नियम वापरून खालील युक्तिवादाची वैधता सिद्ध करू. युक्तिवादाचे भाषिक व सांकेतिक रूप खालीलप्रमाणे :

भाषिक रूप सांकेतिक रूप

१. सर्व पक्षी मर्त्य आहेत. (x) (Px ⸧ Mx)

२. सर्व कावळे पक्षी आहेत. /⸫ सर्व कावळे मर्त्य आहेत. (x) (Kx ⸧ Px) /⸫(x) (Kx⸧Mx)

वरील युक्तिवादाची सिद्धता पुढीलप्रमाणे :

१. (x )(Px ⸧ Mx)

२. (x)(Kx ⸧ Px) /⸫ (x)(Kx ⸧ Mx)

३. Py ⸧ My — १, U.I.

४. Ky ⸧ Py — २, U.I.

५. Ky ⸧ My — ४,३ H.S.

६. (X)(Kx ⸧ Mx) — ५, U.G.

येथे U.I. चा नियम वापरताना ‘x’ च्या जागी ‘y’ घेणे आवश्यक आहे; कारण निष्कर्ष सार्वत्रिक सामान्य विधान आहे आणि शेवटी निष्कर्ष काढण्यासाठी U.G. चा नियम वापरणे आवश्यक आहे. जे तेव्हाच शक्य आहे, जेव्हा आपण ‘y’ घेऊ.

३. अस्तित्ववाची सामान्यीकरण [Existential Generalization (E. G.)] : हा नियम वापरून सत्यता फलनात्मक विधानापासून अस्तित्ववाची सामान्य विधान निगमित करता येते. अस्तित्ववाची सामान्यविधान हे एखाद्या वर्गातील काही सदस्यांबाबतीत असते आणि ते तेव्हाच सत्य असते, जेव्हा ते दिलेल्या वर्गातील काही म्हणजे कमीत कमी एका व्यक्तीला तरी लागू पडते. वर्गातील एखाद्या विशिष्ट व्यक्तीच्या बाबतीत जे सत्य असते, ते त्या वर्गातील काही व्यक्तींबाबत सत्य असते, असा युक्त निष्कर्ष आपण E.G. चा नियम वापरून काढू शकतो. उदा., ‘नाटककार गडकरी प्रतिभाशाली होते’ यावरून ‘काही नाटककार प्रतिभाशाली असतात’ असे अनुमान करता येते. तसेच एखाद्या वर्गातील यदृच्छा निवडलेल्या व्यक्तीबाबत जे सत्य असते, ते त्या वर्गातील काही सदस्यांबाबत सत्य असते असेही युक्त अनुमान या नियमानुसार काढता येते. उदा., ‘यदृच्छा निवडलेला नाटककार प्रतिभाशाली आहे’ यावरून ‘काही नाटककार प्रतिभाशाली आहेत’ असा निष्कर्ष आपण काढू शकतो. E.G.च्या नियमानुसार विधानीय फलनाचे अस्तित्ववाची संख्यापन त्याच्या कोणत्याही दिलेल्या उदाहरणापासून युक्तपणे निष्पन्न करता येते.

E.G. नियमाचे चिन्हात्मक स्वरूप असे :

ɸѵ

⸫ (Ǝx) ɸx (येथे ‘ѵ’ हे व्यक्तिचिन्ह आहे).

युक्तिवादाची वैधता सिद्ध करताना E.G.चा नियम आपणास दोन प्रकारे निष्कर्ष काढण्याचे स्वातंत्र्य देतो. ग्रीक अक्षर असलेले ‘ѵ’ (nu न्यू) हे चिन्ह व्यक्तिचिन्ह असून ते विशिष्ट व्यक्तीचे (व्यक्तिअचल a-w) अथवा यदृच्छेने निवडलेल्या व्यक्तीचे (y) प्रतिनिधित्व करते. या दोन्ही निष्कर्षांचे चिन्हांकित स्वरूप खालीलप्रमाणे दिले आहे :

१. ɸa २. ɸy

/⸫ (Ǝx)(ɸx) /⸫ (Ǝx)(ɸx)

युक्तिवादाचे भाषिक व सांकेतिक रूप खालीलप्रमाणे :

भाषिक रूप सांकेतिक रूप

१. सर्व धातू प्रसरणशील असतात. (x) (Px ⸧ Mx)

२. सर्व धातू असतात. /⸫ काही प्रसरणशील असतात. (x) (Kx ⸧ Px) /⸫(x) (Kx⸧Mx)

वरील युक्तिवादासाठी ‘y’ किंवा a-w मधील कोणतेही व्यक्तिअचल वापरून खालीलप्रमाणे आकारिक सिद्धता देता येईल.

१. (x)(Dx ⸧ Px)

२. (x)(Dx) /⸫ (Ǝx)(Px)

३. Dy ⸧ Py — १, U.I.

४. Dy — २, U.I.

५. Py — ३, ४, M.P.

६. (Ǝx)(Px) — ५, E.G.

१. (x)(Dx ⸧ Px)

२. (x)(Dx) /⸫ (Ǝx)(Px)

३. Da ⸧ Pa — १, U.I.

४. Da — २, U.I.

५. Pa — ३, ४, M.P.

६. (Ǝx)(Px) — ५, E.G.

४. अस्तित्ववाची/अस्तित्वदर्शक उदाहरणीकरण [Existential Instantiation (E. I.)] : अस्तित्ववाची सामान्य विधानापासून सत्यता फलनात्मक विधान निगमित करण्यासाठी हा नियम वापरला जातो. हा नियम असे सांगतो की, विधानीय फलनाच्या अस्तित्ववाची संख्यापनापासून आपण त्याच्या दिलेल्या उदहरणाचे सत्य निगमित करू शकतो. विधानीय फलनाचे अस्तित्ववाची संख्यापन तेव्हाच सत्य असते, जेव्हा ते त्या वर्गातील कमीत कमी एका व्यक्तीच्या बाबतीत तरी सत्य असते. वर्गाच्या काही सदस्यांबाबतीत जे सत्य असते, ते त्या वर्गाच्या यदृच्छा निवडलेल्या व्यक्तीबाबत सत्य असू शकत नाही. म्हणून E.I.च्या नियमानुसार आपण यदृच्छा निवडलेल्या व्यक्तीविषयी (y) निष्कर्ष काढू शकत नाही. विशिष्ट व्यक्तींविषयीचे विधान निगमित करता येते; परंतु विधानीय फलनाच्या अस्तित्ववाची संख्यापनापासून ही किंवा ह्या विशिष्ट व्यक्ती कोण आहेत, याचा बोध होत नाही. म्हणून हा नियम वापरताना व्यक्तिचराच्या जागी अशा व्यक्तिअचलाची निवड करायची जो माहीत नाही, म्हणजेच जो दिलेल्या संदर्भात आधी आलेला नाही.

E.I. नियमाचे चिन्हात्मक स्वरूप असे :

(Ǝx)ɸx

⸫ ɸѵ (येथे ‘ѵ’ हे व्यक्तिअचल आहे. जे ‘y’ शिवाय भिन्न असून, ते या संदर्भात आधी आढळलेले नाही).

आता अस्तित्ववाची उदाहरणीकरणाचा नियम वापरून खालील युक्तिवादाची वैधता सिद्ध करू. युक्तिवादाचे भाषिक व सांकेतिक रूप खालीलप्रमाणे :

भाषिक रूप सांकेतिक रूप

१. सर्व फुले सुगंधी असतात. (x)( Fx ⸧ Sx)

२. काही फुले आकर्षक असतात. /⸫काही वस्तु सुगंधी असतात आणि आकर्षक असतात. (Ǝx)(Fx•Ax) /⸫(Ǝx)(Sx•Ax)

वरील युक्तिवादाची सिद्धता पुढीलप्रमाणे :

१. (x)( Fx ⸧ Sx)

२. (Ǝx)(Fx • Ax) /⸫(Ǝx)(Sx•Ax)

३. Fm • Am — २, E.I.

४. Fm ⸧ Sm — १, U.I.

५. Fm — ३, Simp.

६. Sm — ४,५, M.P

७. Am • Fm — ३, com.

८. Am — ७, simp.

९. Sm•Am — ६,८, conj.

१०. (Ǝx)(Sx. Ax) — ९ E.G.

वरील उदाहरणात ‘m’ च्या एवजी कोणतेही व्यक्तिअचल (a-w) घेता आले असते; परंतु खालील उदाहरणात E.I.च्या नियमाच्या निर्बंधाप्रमाणे ‘b’ हे व्यक्तिअचल आपल्याला घेता येणार नाही; कारण ते युक्तिवादात आलेले आहे ‘b’ सोडून दुसरे कुठलेही व्यक्तिअचल आपण घेऊ शकतो.

उदाहरण :

१. (x) (Bx ⸧ ~Px)

२. (Ǝx) (Px • Tx)

३. Pb /⸫ (Ǝx) (~Bx)

४. Pa • Ta —- २, E.I.

५. Ba ⸧ ~Pa —- १, U.I.

६. Pa —- ४, Simp.

७. ~~Pa —- ६, D.N.

८. ~Ba —- ५, ७, M.T.

९. (Ǝx) (~Bx) —- ८, E.G.

येथे आणखी एक महत्त्वाची गोष्ट लक्षात घेणे आवश्यक आहे, ती म्हणजे युक्तिवादात जेव्हा U.I. व E.I. हे दोन्ही नियम वापरायचे असतात, तेव्हा E.I.चा नियम आधी वापरावा लागतो; कारण E.I.च्या वापरावर असा निर्बंध आहे की, दिलेल्या संदर्भात पूर्वी न आढळलेले व्यक्तिअचलच वापरायचे असते. वरील युक्तिवादात जर U.I.चा नियम आधी वापरला असता, तर E.I. वापरताना तेच व्यक्तिअचल घेता आले नसते आणि दुसरे व्यक्तिअचल वापरले, तर निष्कर्ष काढता आला नसता.

संख्यापकीय निगमनाचे नियम वापरून युक्तिवादांची वैधता सिद्ध करताना काही निकष पाळणे आवश्यक आहे, ते खालीलप्रमाणे :

प्रथम U.I.व E.I. हे नियम वापरून सामान्य विधानापासून सत्यता फलनात्मक विधाने निगमित करावी.
जेव्हा एकाच युक्तिवादात सार्विक व अस्तित्वदर्शक विधान आलेले असते अशावेळी प्रथम E.I.चा नियम वापरून अस्तित्वदर्शक विधानाचे रूपांतरण करावे व त्यानंतर U.I.चा नियम वापरून सार्विक विधानाचे रूपांतरण करून घ्यावे.
तदनंतर अनुमानाचे व स्थानांतराचे नियम वापरून निष्कर्ष निगमित करावा.
निष्कर्ष सार्विक वा अस्तित्वदर्शक सामान्य विधान असल्यास शेवटी U.G.किंवा E.G. वापरून निगमित करावा.
निष्कर्ष सार्विक सामान्य विधान असल्यास ‘y’चाच उपयोग करणे.
E.I.च्या नियमाचा उपयोग करताना दिलेल्या युक्तिवादात न आलेल्या कोणत्याही व्यक्तिअचलाचाच उपयोग करावा.
संख्यापकीय युक्तिवादाची वैधता सिद्ध करताना सोपाधिक सिद्धता पद्धती (C.P.) आणि अप्रत्यक्ष सिद्धता पद्धतीचा (I.P.)देखील वापर करू शकतो.