लघु सत्यता कोष्टक पद्धती ही एक निर्णय पद्धती (Decision Procedure) आहे. एखादा विधानाकार (Statement-form) सर्वतः सत्य, सर्वतः असत्य वा यादृच्छिक (नैमित्तिक तथा सत्यासत्य) आहे हे ठरविण्यासाठी, तसेच एखादा युक्तिवाद वैध आहे का अवैध याचा निर्णय करण्यासाठी तर्कशास्त्रज्ञांनी काही तंत्रे किंवा पद्धती विकसित केल्या आहेत, त्यांना ‘निर्णय पद्धती’ असे म्हणतात. निर्णय पद्धती खालीलप्रमाणे चार प्रकारच्या आहेत :
- सत्यता कोष्टक पद्धती (Truth Table)
- लघु सत्यता कोष्टक पद्धती (Shorter Truth Table)
- सत्यता वृक्ष पद्धती (Truth Tree)
- प्राकृत व मानक आकार पद्धती (Normal Forms)
सत्यता कोष्टक ही साधी आणि सोपी निर्णय पद्धती आहे. परंतु काही वेळा तिचा वापर क्लिष्ट आणि अडचणीचा होतो. अशावेळी लघु सत्यता कोष्टक वापरणे सोयीस्कर असते. सत्यता कोष्टक पद्धतीत संयुक्त विधानाकारातील प्रत्येक घटक विधानाकाराच्या सत्यासत्यतेच्या एकूणएक शक्यता लक्षात घेणे गरजेचे असते. तसेच विधानाकारातील प्रत्येक संयुक्त विधानाकाराचे सत्यता मूल्य ठरवावे लागते, नंतर संपूर्ण विधानाकाराविषयी निर्णय करावयाचा असतो. दिलेला विधानाकार सर्वतः सत्य, सर्वतः असत्य की यादृच्छिक आहे, याचा खुलासा मुख्य स्तंभात होतो. या पद्धतीत प्रत्येक विधानचलासाठी (Propositional Variable) एक स्तंभ, मग प्रत्येक घटक संयुक्त विधानाकारासाठी स्तंभ, शेवटी संपूर्ण विधानाकाराचा स्तंभ असे कितीतरी स्तंभ करावे लागतात. दिलेल्या विधानाकारामध्ये अधिक चले असतील, तर घटक विधानाकाराच्या सत्य, असत्य यांच्या एकूण संभवनीय शक्यता वाढतात. त्यामुळे आडव्या ओळींची संख्यादेखील वाढते. तीन चले असल्यास आठ ओळी, चार चले असल्यास सोळा ओळी, पाच चले असल्यास बत्तीस अशाप्रकारे ओळींची संख्या वाढते. घटक विधानाकार व विधानाकारातील संयुक्त विधानाकार यांचे मिळून बनलेले हे कोष्टक फार गैरसोयीचे होते. परंतु लघु सत्यता कोष्टक पद्धतीत एकाच ओळीत निर्णय घेता येतो.
लघु सत्यता कोष्टक पद्धती ‘विसंगती प्रसंग कसोटी’/‘विपरीत विपर्ययाच्या’ (Reductio-ad-absurdum) तत्त्वावर आधारित आहे. या तत्त्वानुसार युक्तिवादाच्या बाबतीत आपण प्रथम युक्तिवाद अवैध आहे असे गृहीत धरतो आणि या गृहितकामुळे जर विसंगती निर्माण झाली; तर युक्तिवाद वैध ठरतो. अन्यथा अवैध ठरतो. तसेच विधानाकाराच्या बाबतीत सुरुवातीला तो सर्वतः सत्य नाही, असे गृहीत धरले जाते आणि या गृहीतकामुळे जर विसंगती निर्माण झाली. तर तो सर्वतः सत्य असतो अथवा सर्वतः सत्य नसतो. या निर्णय पद्धतीत निर्णय थेट दिला जात नाही, म्हणून लघु सत्यता कोष्टक पद्धती ही ‘अप्रत्यक्ष पद्धती’ आहे.
लघु सत्यता कोष्टक पद्धती स्पष्ट करण्यासाठी काही उदाहरणे घेऊ, म्हणजे हे लक्षात येईल.
(p.q) ⊃ (p⊃q)
प्रथम हा विधानाकार असत्य म्हणजे सर्वतः सत्य नाही, असे गृहीत धरू. दोन कंसांना जोडणार्‍या ‘⊃’ च्या खाली ‘F’ हे सत्यता मूल्य देऊ. सोपाधिक विधान तेव्हाच असत्य असते, जेव्हा पूर्वांग सत्य व उत्तरांग असत्य असते. त्यामुळे पहिल्या कंसातील संधी विधानकाराला सत्य ‘T’ व दुसर्‍या कंसातील सोपाधिक विधानाकाराला असत्य ‘F’ मूल्य प्रदान करू.
(p.q) ⊃ (p⊃q)
T F F
2 1 2
संधी विधान तेव्हाच सत्य असते, ज्या वेळी दोन्ही घटकविधाने सत्य असतात. त्यामुळे संधी विधानकारातील p व q दोन्हींना सत्य मूल्य ‘T’ देऊ. एकदा p व q ची मूल्ये आपणास मिळाल्यानंतर आपण ती तशीच्या तशी दुसर्‍या कंसातील सोपाधिक विधानाकारातील p व q यांना देऊ. पण असे करण्याने तेथे विसंगती होते (कारण सोपाधिक विधान तेव्हाच असत्य असते, जेव्हा पूर्वांग सत्य व उत्तरांग असत्य असते). जर आपण संधी विधानाकाराऐवजी प्रथम सोपाधिक विधानाकाराचे मूल्य निश्चित केले, तरीही विसंगती घडतेच. सोपाधिक विधान असत्य असण्यासाठी p व q असत्य असावा लागेल. मग p सत्य व q असत्य असेल, तर संधी विधान सत्य राहणार नाही. त्यामुळे विसंगती घडेल. म्हणून हा विधानाकारा सर्वतः सत्य आहे.
(p.q) ⊃ (p⊃q)
T T T F T F T
3 2 3 1 4 2 5
युक्तिवादाच्या बाबतीत आपण प्रथम युक्तिवाद अवैध आहे, असे गृहीत धरतो. कोणतीही निर्णय पद्धती केवळ नैगमनिक युक्तिवाद वैध आहे किंवा नाही, हे ठरविण्यासाठी वापरता येते. आधार विधाने सत्य असताना जर निष्कर्ष विधान असत्य असेल, तर असा नैगमनिक युक्तिवाद अवैध असतो. म्हणून लघु सत्यता कोष्टक पद्धतीत युक्तिवाद अवैध गृहीत धरण्यासाठी आपण प्रथम आधारविधाने सत्य व निष्कर्ष विधान असत्य मानतो.
उदा., : A⊃B
B⊃C
∴ A⊃C
हा युक्तिवाद आपण खाली दिल्याप्रमाणे लिहून अवैध गृहीत धरू.
आधारविधान १ आधारविधान २ निष्कर्षविधान
(A⊃B) (B⊃C) (A⊃C)
T T F
1 2 3
नंतर मूलभूत सत्यता कोष्टकाच्या नियमांनुसार विधान चलांना सत्यतामूल्ये प्रदान करून विसंगती निर्माण होते का पाहू.
आधारविधान १ आधारविधान २ निष्कर्षविधान
(A⊃B) (B⊃C) (A⊃C)
T T T T T F T F F
5 1 7 8 2 6 4 3 4
येथे दुसरे औपाधिक आधारविधान सत्य आहे; परंतु पूर्वांग सत्य आणि उत्तरांग असत्य असताना औपाधिक आधारविधान सत्य असू शकत नाही. येथे विसंगती निर्माण झाली आहे. महणून हा युक्तिवाद वैध आहे. एकंदरीत, लघु सत्यता कोष्टक पद्धतीत एकाच ओळीत निर्णय घेता येतो. म्हणून ही पद्धत सत्यता कोष्टक पद्धतीपेक्षा सुटसुटीत व सोयीची आहे.
https://www.youtube.com/watch?v=iAvZgitepcA
संदर्भ :
- Basantani, K. T. Elements of Formal Logic, Bombay, 1995.
- Basoon, A. H.; O’Connor, D. J. Introduction to Symbolic Logic, Cambridge, 1960.
- अकोलकर, व. लि. तर्कदीपिका, पुणे, १९७३.
- देशपांडे, दि. य. सांकेतिक तर्कशास्त्र, नागपूर, १९७६.
- बारलिंगे, सुरेंद्र; मराठे, मो. प्र. तर्करेखा, भाग १, पुणे, १९७२.
- वाडेकर, दे. द. संपा. मराठी तत्त्वज्ञान-महाकोश, खंड ३, पुणे, १९७४.
समीक्षक : श्रद्धा पै
