व्यवहारात अनेक ठिकाणी एखादी घटना घडेल की नाही याचे पूर्वानुमान करावे लागते. असे पूर्वानुमान ती घटना घडण्याच्या संभाव्यतेच्या स्वरूपात व्यक्त करता येते. तर्कशास्त्रीय
समाश्रयणात, त्या संभाव्यतेचे वर्णन तर्कशास्त्रीय फलनाने केले जाते. उदा., उद्या पाऊस पडेल ही घटना. या घटनेची संभाव्यता आजचे तापमान, आजची आर्द्रता, आज किती पाऊस पडला, वाऱ्याची दिशा, वाऱ्याचा वेग अशा अनेक घटकांवर अवलंबून असते. त्याचप्रमाणे क्रिकेटच्या एकदिवसीय सामन्याचे चालू षट्काच्या शेवटी आपला संघ जिंकण्याची संभाव्यता आपल्याला काढायची आहे. विरुद्ध संघाची फलंदाजी आधी झाली आहे. जिंकण्याची संभाव्यता काढण्यासाठी तर्कशास्त्रीय समाश्रयणात पुढे दिलेले स्वचल विचारात घ्यावे लागतील – शिल्लक असलेली षट्के, अजून किती धावा करायच्या आहेत, किती फलंदाज हातात आहेत, प्रतिस्पर्धी संघाविरुद्ध किती सामन्यांत आपण जिंकलो आहोत त्याचे प्रमाण, ह्या मैदानावर आपण किती सामने जिंकलो आहोत त्याचे प्रमाण, इत्यादी. (गेल्या दोन ते तीन वर्षांचा खेळाचा आढावा घेवून).
तर्कशास्त्रीय समाश्रयण : A या चलाने दिलेली घटना घडेल / घडते हे दर्शविल्यास, तर्कशास्त्रीय समाश्रयणात त्या घटनेची संभाव्यता पुढीलप्रमाणे दिली जाते.
Pr[A] = eg(x)/( 1+eg(x)),
g(x) = a + b1x1 + b2x2 + … + bmxm
येथे m, किती स्वचल आहेत ते दर्शवितो. स्वचल आणि a, b1, b2, …., bm ह्यांच्या कोणत्याही मूल्यांसाठी वरील संभाव्यता 0 आणि 1 यांच्या दरम्यान राहते. बाकीचे स्वचल स्थिर ठेवले आणि b1 व x1 हे दोघेही धन असतील, तर x1 चे मूल्य वाढल्यानंतर Pr[A] सुद्धा वाढेल. (तुलनात्मक दृष्ट्या, एकघाती समाश्रयणात न्याय्य यादृच्छिक चलाचे (justified arbitrary variable) अपेक्षित मूल्य a + b1x1 + b2x2 + …. + bmxmअसते, म्हणजे ते स्वचलांचे एकघाती फलन असते.)
एखादा विद्यार्थी परीक्षेत उत्तीर्ण होण्याची संभाव्यता तो दिवसाला सरासरी किती तास अभ्यास करतो यावर अवलंबून आहे असे मानल्यास असे तास हा स्वचल आहे. उत्तीर्ण होण्याची संभाव्यता, लॉजिस्टिक समाश्रयणाद्वारे सरासरी तासांनुसार कशी बदलते, ते दिलेल्या आकृत्यांत दाखवले आहे.
पहिल्या आकृतीतल्या प्रारूपात a = -2 आणि b1 = 1.5 आहेत तर दुसऱ्या प्रारूपात a = -2 आणि b1 = 2.8 आहेत. अभ्यास मुळीच केला नाही तर उत्तीर्ण होण्याची संभाव्यता दोन्ही ठिकाणी सुमारे 12% आहे. उत्तीर्ण होण्याची संभाव्यता 90% असण्यासाठी पहिल्या विद्यार्थ्याला दररोज पावणेतीन तास अभ्यास करणे आवश्यक आहे, तर दुसऱ्याला साधारण दीड तास. उपलब्ध माहितीवरून, महत्तम संभव पद्धत वापरून a आणि b1, b2, …., bm यांचे आकलन केले जाते. त्यानंतर कमी महत्त्वाचे स्वचल प्रारूपातून वगळण्यात येतात. समाश्रयण प्रारूपांच्या बाबतीत प्रारूपाची चिकित्सा आणि परीक्षण महत्त्वाचे मानले जातात. प्रारूप खरोखर उपयुक्त आहे का हे काही चिकित्सात्मक कसोट्यांद्वारे ठरवण्यात येते.
तर्कशास्त्रीय समाश्रयणाच्या परीक्षणाची एक महत्त्वाची पद्धत म्हणजे पूर्वानुमानाचे यश बघणे. उपलब्ध आकडेवारीमधे कोणत्या बाबींत A ही घटना घडली आहे किंवा घडलेली नाही, हे आपल्याला माहीत आहे. प्रारूप आणि आकलक यांच्या साह्याने, त्याबाबीचे स्वचल वापरून संबंधित घटना घडण्याची संभाव्यता काढण्यात येते.
प्रत्यक्षात प्रत्येक बाबीत घटना घडली आहे की नाही हे आपल्याला ठाऊकच आहे. ते विचारात न घेता, प्रारूपावर आधारलेली संभाव्यता ½ पेक्षा जास्त असल्यास ती घटना घडली किंवा घडणार आहे असे अनुमान करण्यात येते. त्यामुळे किती बाबींत आपले अनुमान बरोबर आहे त्याचे प्रमाण आपण मोजू शकतो. हे प्रमाण साधारणपणे 65% किंवा त्याहून जास्त असल्यास समाश्रयण योग्य आहे असे मानले जाते. अर्थात परिस्थितीनुसार हा आकडा वाढवता येईल.
अभ्यासाचे तास आणि उत्तीर्ण होणे किंवा न होणे या उदाहरणात प्रत्येक विद्यार्थ्याने किती तास अभ्यास केला आणि तो उत्तीर्ण झाला की नाही याची माहिती आपल्याकडे आहे. आकलक नि अभ्यासाचे तास वापरून आणि प्रारूप गृहीत धरून, सदरहू विद्यार्थी उत्तीर्ण होण्याची संभाव्यता आपण काढू शकतो. त्यावरून, वर सांगितल्या प्रमाणे, लॉजिस्टिक प्रारूपाची योग्यायोग्यता ठरवता येईल.
तर्कशास्त्रीय समाश्रयण विज्ञान, वैद्यकीय आणि सामाजिकशास्त्रे यांच्या अनेक शाखांत मोठ्या प्रमाणात वापरण्यात येते. एखादा उमेदवार निवडणूक जिंकेल की नाही, वाक्यातला पुढे येणारा शब्द क्रियापद असेल की नाही ही काही उदाहरणे. वैद्यकीय शास्त्रात एखाद्या रुग्णाला मूत्रपिंडाचे प्रत्यारोपण करावे की करू नये हे ठरवण्यासाठी लॉजिस्टिक समाश्रयणाचा आधार घेतला जातो. त्यासाठी उपलब्ध आकडेवारीत प्रत्येक रुग्णाबद्दल, प्रत्यारोपण यशस्वी झाले की नाही याचबरोबर त्याचा रक्तगट, वय, रक्तातले उपयुक्त घटक, रक्तदाब अशा, वैद्यकशास्त्राच्या दृष्टीने महत्त्वाच्या मानण्यात आलेल्या अनेक स्वचलांची नोंद असते. प्रत्यारोपणाचे यश रुग्ण प्रत्यारोपणानंतर ठरावीक काळ जगला की नाही या निकषावर मोजले जाते. एखाद्या नव्या रुग्णाच्या बाबतीत प्रत्यारोपण यशस्वी होईल याची संभाव्यता काढली जाते. प्रत्यारोपणाच्या यशाची संभाव्यता जास्त असल्यास प्रत्यारोपण करावे असा निर्णय घेण्यात येतो.
आतापर्यंतच्या चर्चेत घटना हो किंवा नाही स्वरूपाच्या होत्या. अनेक पर्यायी घटनांच्या संदर्भातसुद्धा लॉजिस्टिक समाश्रयण मांडता येते. अशा प्रारूपात, प्रारंभी सांगितलेल्या विद्यार्थ्याच्या उदाहरणात तो अनुत्तीर्ण होणे, उत्तीर्ण होणे, द्वितीय श्रेणीत उत्तीर्ण होणे, प्रथम श्रेणीत उत्तीर्ण होणे अशा घटनांच्या संभाव्यतांचा अभ्यास करता येतो.
संदर्भ :
- Hosmer, David W.; Lemeshow, Stanley, Applied Logistic Regression, Second Edition, 2004.
समीक्षक : माधवी ठाकूरदेसाई
